«Шексіздік» сөзінде әр адамның өз қауымдастығы бар. Көбісі өз қиялында көкжиектен асып түсетін теңізді тартады, ал басқаларының көз алдында шексіз жұлдызды аспанның суреті бар. Сандармен жұмыс істеуге дағдыланған математиктер шексіздікті мүлде басқаша елестетеді. Көптеген ғасырлар бойы олар өлшеуге қажетті физикалық шамалардың ең үлкенін табуға тырысты. Олардың бірі - Грэм саны. Онда қанша нөл бар және ол не үшін пайдаланылады, осы мақалада айтылады.
Шексіз үлкен сан
Математикада бұл x айнымалының атауы, егер кез келген берілген оң M саны үшін N натурал санын көрсетуге болады, осылайша барлық n сандар үшін N үлкенірек болады. теңсіздігі |x | > M. Дегенмен, жоқ, мысалы, бүтін Z шексіз үлкен деп санауға болмайды, өйткені ол әрқашан (Z + 1) мәнінен кіші болады.
"алыптар" туралы бірнеше сөз
Физикалық мағынасы бар ең үлкен сандар мыналар болып саналады:
- 1080. Әдетте квинквавгинтилион деп аталатын бұл сан Әлемдегі кварктар мен лептондардың (ең кішкентай бөлшектер) шамамен санын белгілеу үшін пайдаланылады.
- 1 Google. Ондық жүйедегі мұндай сан 100 нөлі бар бірлік түрінде жазылады. Кейбір математикалық модельдерге сәйкес, үлкен жарылыс болған кезден бастап ең үлкен қара құрдымның жарылуына дейін 1 жылдан 1,5 гуголь жылға дейін өтуі керек, содан кейін біздің ғалам өзінің өмір сүруінің соңғы кезеңіне өтеді, яғни біз бұл санның белгілі бір физикалық мағынасы бар деп есептейміз.
- 8, 5 x 10185. Планк тұрақтысы 1,616199 x 10-35 м, яғни ондық санау кезінде 0,0000000000000000000000000000616199 м болып көрінеді. Бір дюймде шамамен 1 гугол Планк ұзындығы бар. Шамамен 8,5 x 10185 Планк ұзындығы біздің бүкіл ғаламға сыйды деп есептеледі.
- 277 232 917 – 1. Бұл белгілі ең үлкен жай сан. Егер оның екілік белгісі жеткілікті ықшам пішінге ие болса, оны ондық түрде бейнелеу үшін кемінде 13 миллион таңба қажет. Ол 2017 жылы Mersenne нөмірлерін іздеу жобасының бөлігі ретінде табылған. Егер энтузиастар осы бағытта жұмысын жалғастыра берсе, онда компьютерлік технологияның қазіргі даму деңгейінде жақын болашақта олар 277 232 917-ден үлкен дәрежедегі Мерсенна санын таба алмайтыны екіталай.- 1, бірақ мұндайбақытты жеңімпаз 150 000 АҚШ долларын алады.
- Гугоплекс. Мұнда біз жай ғана 1 аламыз және одан кейін 1 гугол мөлшерінде нөлдерді қосамыз. Бұл санды 10^10^100 деп жазуға болады. Оны ондық бөлшек түрінде көрсету мүмкін емес, өйткені егер Әлемнің бүкіл кеңістігі қағаз бөліктерімен толтырылған болса, олардың әрқайсысында «Word» қаріпінің өлшемі 10 болатын 0 жазылатын болса, онда бұл жағдайда тек жартысы ғана болады. googolplex нөмірі үшін 1-ден кейінгі барлық 0 алынады.
- 10^10^10^10^10^1.1. Бұл Пуанкаре теоремасы бойынша біздің Әлем кездейсоқ кванттық ауытқулар нәтижесінде бүгінгі күнге жақын күйге оралатын жылдар санын көрсететін сан.
Грэмдің сандары қалай пайда болды
1977 жылы белгілі ғылымды танымал етуші Мартин Гарднер Scientific American журналында Грэмдің Рамзе теориясының мәселелерінің бірін дәлелдеуіне қатысты мақаласын жариялады. Онда ол ғалым белгілеген шекті байыпты математикалық пайымдауда қолданылған ең үлкен сан деп атады.
Роналд Льюис Грэм деген кім
80-дегі ғалым Калифорнияда дүниеге келген. 1962 жылы Беркли университетінде математика ғылымдарының кандидаты дәрежесін алды. Ол Bell зертханасында 37 жыл жұмыс істеп, кейін AT&T зертханасына ауысты. Ғалым 20-ғасырдың ең ұлы математиктерінің бірі Пал Эрдоспен белсенді қызметтес болды және көптеген беделді марапаттардың иегері. Грэмдің ғылыми библиографиясында 320-дан астам ғылыми мақалалар бар.
70-жылдардың ортасында ғалымды теориямен байланысты мәселе қызықтырды. Рэмси. Оның дәлелінде ерітіндінің жоғарғы шегі анықталды, бұл өте үлкен сан, кейіннен Рональд Грэм есімімен аталды.
Гиперкуб мәселесі
Грэм санының мәнін түсіну үшін алдымен оның қалай алынғанын түсіну керек.
Ғалым және оның әріптесі Брюс Ротшильд келесі мәселені шешуде:
n-өлшемді гиперкуб бар. Оның төбелерінің барлық жұптары 2төбелері бар толық график алынатындай етіп қосылған. Оның әрбір жиегі көк немесе қызыл түсті. Әрбір осындай бояуда бір жазықтықта жатқан 4 төбесі бар толық монохроматикалық субграф болуы үшін гиперкубта болуы керек төбелердің ең аз санын табу қажет болды.
Шешім
Грэм мен Ротшильд есептің 6 ⩽ N' ⩽N шартын қанағаттандыратын N' шешімі бар екенін дәлелдеді, мұнда N - нақты анықталған, өте үлкен сан.
N үшін төменгі шекараны кейінірек басқа ғалымдар нақтылап, N саны 13-тен үлкен немесе оған тең болуы керек екенін дәлелдеді. Осылайша, жоғарыда келтірілген шарттарды қанағаттандыратын гиперкубтың төбелерінің ең аз санының өрнекі болды. 13 ⩽ N'⩽ N.
Кнуттың көрсеткі белгісі
Грэм санына анықтама бермес бұрын, оның символдық көрсетілу әдісімен танысу керек, өйткені ондық та, екілік санау да бұл үшін мүлдем сәйкес келмейді.
Қазіргі уақытта бұл шаманы көрсету үшін Кнуттың көрсеткі белгісі пайдаланылады. Оның айтуынша:
ab=a "жоғары көрсеткі" b.
Бірнеше дәрежеге шығару операциясы үшін жазба енгізілді:
a "жоғары көрсеткі" "жоғары көрсеткі" b=ab="b бөлігіндегі a-дан тұратын мұнара."
Ал пентация үшін, яғни алдыңғы оператордың қайталанатын дәреже көрсеткішінің символдық белгіленуі үшін, Кнут әлдеқашан 3 көрсеткіні қолданды.
Грэм санына арналған осы белгіні қолданып, бізде 64 дана көлеміндегі "көрсеткі" тізбегі бір-біріне салынған.
Масштаб
Қиялды қоздыратын және адам санасының шекарасын кеңейтетін, оны Ғаламның шегінен шығаратын олардың атақты саны Грэм және оның әріптестері оны гиперкубтың дәлелдеуіндегі N санының жоғарғы шегі ретінде алды. жоғарыда келтірілген мәселе. Қарапайым адамға оның ауқымы қаншалықты үлкен екенін елестету өте қиын.
Таңбалар саны немесе кейде қате айтылғандай, Грэм санындағы нөлдер туралы сұрақ бұл мән туралы бірінші рет естігендердің барлығын дерлік қызықтырады.
Біз 64 мүшеден тұратын жылдам дамып келе жатқан дәйектілікпен айналысып жатқанымызды айтсақ та жеткілікті. Тіпті оның бірінші мүшесін елестету мүмкін емес, өйткені ол 3-тен тұратын n «мұнарадан» тұрады. Қазірдің өзінде оның 3 үштік «төменгі қабаты» 7 625 597 484 987-ге тең, яғни 7 миллиардтан асады, яғни 64-ші қабат (мүше емес!). Осылайша, қазіргі уақытта Грэм санының нақты не екенін айту мүмкін емес, өйткені оны есептеу жеткіліксіз.бүгінде жер бетінде бар барлық компьютерлердің жиынтық қуаты.
Жазба бұзылды ма?
Крускал теоремасын дәлелдеу барысында Грэм саны «тұғырдан лақтырылды». Ғалым келесі мәселені ұсынды:
Ақырлы ағаштардың шексіз тізбегі бар. Крускал қандай да бір графиктің бір бөлігі әрқашан болатынын дәлелдеді, ол әрі үлкенірек графтың бөлігі, әрі оның дәл көшірмесі болып табылады. Бұл мәлімдеме ешқандай күмән тудырмайды, өйткені шексіздікте әрқашан дәл қайталанатын комбинация болатыны анық
Кейінірек, Харви Фридман бұл мәселені тек осындай ациклдік графиктерді (ағаштарды) қарастыру арқылы біршама тарылтады, бұл i коэффициенті бар белгілі бір үшін ең көбі (i + k) шыңдар болады. Ол тапсырманың осы әдісімен басқа ағашқа ендірілген ішкі ағашты табуға болатындай етіп, асиклді графиктердің саны қанша болу керектігін анықтауды шешті.
Осы мәселе бойынша жүргізілген зерттеулер нәтижесінде k-ға байланысты N орасан зор жылдамдықпен өсетіні анықталды. Атап айтқанда, егер k=1 болса, онда N=3. Дегенмен, k=2 кезінде N 11-ге жетеді. Ең қызығы k=3 болғанда басталады. Бұл жағдайда N тез «ұшып» және мәнге жетеді Грэм санынан бірнеше есе артық. Оның қаншалықты үлкен екенін елестету үшін Рональд Грэм есептеген санды G64 (3) түрінде жазу жеткілікті. Сонда Фридман-Крускал мәні (аян. ФинКраскал(3)), G(G(187196)) ретті болады. Басқаша айтқанда, мега-мән алынады, ол шексіз үлкенелестету мүмкін емес үлкен Грэм саны. Сонымен қатар, ол шексіздіктен бірнеше есе аз болады. Бұл тұжырымдама туралы толығырақ айту орынды.
Шексіздік
Енді біз саусақтардағы Грэм санының не екенін түсіндіргеннен кейін, біз осы философиялық тұжырымдамаға салынған және салынып жатқан мағынаны түсінуіміз керек. Өйткені, белгілі бір контексте "шексіздік" пен "шексіз үлкен санды" бірдей деп санауға болады.
Бұл мәселені зерттеуге ең үлкен үлес қосқан Аристотель. Антикалық дәуірдің ұлы ойшылы шексіздікті потенциалдық және өзекті деп екіге бөлді. Соңғысы арқылы ол шексіз заттардың бар екендігінің шындығын айтты.
Аристотельдің айтуы бойынша, бұл іргелі тұжырымдама туралы идеялардың қайнар көздері:
- уақыт;
- мәндерді бөлу;
- шекара ұғымы және одан тыс нәрсенің болуы;
- шығармашылық табиғаттың сарқылмастығы;
- шексіз ойлау.
Шексіздіктің заманауи интерпретациясында сандық өлшемді көрсету мүмкін емес, сондықтан ең үлкен санды іздеу мәңгілікке жалғасуы мүмкін.
Қорытынды
"Шексіздікке қарау" метафорасы мен Грэм санын қандай да бір мағынада синоним деп санауға бола ма? Керісінше иә және жоқ. Екеуі де ең күшті қиялмен де елестету мүмкін емес. Дегенмен, жоғарыда айтылғандай, оны «ең, ең көп» деп санауға болмайды. Тағы бір нәрсе, қазіргі уақытта Грэм санынан үлкен мәндерде бекітілген жоқфизикалық сезім.
Сонымен қатар ол шексізсанының қасиеттеріне ие емес, мысалы:
- ∞ + 1=∞;
- тақ және жұп сандардың шексіз саны бар;
- ∞ - 1=∞;
- тақ сандар саны барлық сандардың дәл жартысы;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Қорытындылау үшін: Грэм саны Гиннестің рекордтар кітабына сәйкес математикалық дәлелдеу тәжірибесіндегі ең үлкен сан. Дегенмен, бұл мәннен бірнеше есе үлкен сандар бар.
Сірә, болашақта бұдан да үлкен «алыптар» қажет болуы мүмкін, әсіресе адам біздің күн жүйесінен шығып кетсе немесе біздің санамыздың қазіргі деңгейінде елестете алмайтын нәрсені ойлап тапса.
