Пифагор теоремасы: гипотенузаның квадраты катеттердің квадратының қосындысына тең

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Әрбір оқушы гипотенузаның квадраты әрқашан катеттердің қосындысына тең болатынын біледі, олардың әрқайсысы квадрат болып табылады. Бұл тұжырым Пифагор теоремасы деп аталады. Бұл тригонометриядағы және жалпы математикадағы ең танымал теоремалардың бірі. Оны толығырақ қарастырыңыз.

Тікбұрышты үшбұрыш түсінігі

Гипотенузаның квадраты квадрат болып табылатын катеттердің қосындысына тең Пифагор теоремасын қарастырмас бұрын тік бұрышты үшбұрыштың түсінігі мен қасиеттерін қарастыруымыз керек, ол үшін теорема жарамды.

Үшбұрыш - үш бұрышы және үш қабырғасы бар жалпақ фигура. Тікбұрышты үшбұрыш, аты айтып тұрғандай, бір тік бұрышқа ие, яғни бұл бұрыш 90o.

Барлық үшбұрыштар үшін жалпы қасиеттерден бұл фигураның барлық үш бұрышының қосындысы 180^o болатыны белгілі, бұл тікбұрышты үшбұрыш үшін олардың қосындысы дегенді білдіреді. дұрыс емес екі бұрыш, 180^o -90^o=90^o. Соңғы факт тік бұрыш емес тікбұрышты үшбұрыштың кез келген бұрышы әрқашан 90^{o-ден аз болатынын білдіреді.}

Тік бұрышқа қарама-қарсы жатқан қабырға гипотенуза деп аталады. Қалған екі қабырғасы үшбұрыштың катеттері, олар бір-біріне тең болуы мүмкін немесе олар әртүрлі болуы мүмкін. Тригонометриядан белгілі, үшбұрыштың қабырғасының қандай бұрышы үлкен болса, оның ұзындығы да соғұрлым үлкен болады. Бұл тікбұрышты үшбұрышта гипотенуза (90^o бұрышына қарама-қарсы жатыр) әрқашан кез келген катеттерден үлкен болады (< 90^{o бұрыштарына қарама-қарсы жатыр)).}

Пифагор теоремасының математикалық жазылуы

Бұл теорема гипотенузаның квадраты әрқайсысы бұрын квадрат болып алынған катеттердің қосындысына тең екенін айтады. Бұл тұжырымды математикалық түрде жазу үшін a, b және c қабырғалары сәйкесінше екі катет және гипотенуза болатын тікбұрышты үшбұрышты қарастырыңыз. Бұл жағдайда гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең деп көрсетілген теореманы келесі формуламен көрсетуге болады: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Осы жерден тәжірибе үшін маңызды басқа формулаларды алуға болады: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) және c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Тік бұрышты теңбүйірлі үшбұрыш жағдайында, яғни a=b формуласын ескеріңіз: гипотенузаның квадраты катеттердің қосындысына тең, олардың әрқайсысышаршы, математикалық түрде былай жазылады: c²=a² + b²=2a ^{2, ол теңдікті білдіреді: c=a√2.}

Тарихи дерек

Гипотенузаның квадраты катеттердің қосындысына тең дейтін Пифагор теоремасы әрқайсысының квадраты болып табылады, оған атақты грек философы назар аударғанға дейін белгілі болған. Ежелгі Египеттің көптеген папирустары, сондай-ақ вавилондықтардың саз тақтайшалары бұл халықтардың тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының белгіленген қасиетін пайдаланғанын растайды. Мысалы, алғашқы Мысыр пирамидаларының бірі, құрылысы б.з.б. 26 ғасырға (Пифагор өмір сүргеннен 2000 жыл бұрын) басталатын Хафр пирамидасы 3х4х5 тікбұрышты үшбұрыштың арақатынасы туралы білім негізінде салынған.

Олай болса неліктен теорема қазір грекше аталды? Жауап қарапайым: Пифагор бұл теореманы бірінші болып математикалық жолмен дәлелдеді. Аман қалған Вавилон және Мысыр жазбаларында оның қолданылуы туралы ғана айтылады, бірақ ешқандай математикалық дәлел келтірілмейді.

Пифагор қарастырылып отырған теореманы тікбұрышты үшбұрышта 90o бұрышынан биіктік сызу арқылы алған ұқсас үшбұрыштардың қасиеттерін пайдалану арқылы дәлелдеді деген пікір бар. гипотенуза.

Пифагор теоремасын қолдану мысалы

Қарапайым есепті қарастырайық: егер оның биіктігі H=3 болатыны белгілі болса, көлбеу баспалдақтың L ұзындығын анықтау керек.метр, ал баспалдақ тірелген қабырғадан аяғына дейінгі қашықтық P=2,5 метр.

Бұл жағдайда H және P - катеттер, ал L - гипотенуза. Гипотенузаның ұзындығы катеттердің квадраттарының қосындысына тең болғандықтан, мынаны аламыз: L²=H² + P 2^{, осыдан L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 метр немесе 3 метр және 90,5 см.}