2-ші ретті беттер: мысалдар

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Студент бірінші курста 2-ші ретті беттермен жиі кездеседі. Бастапқыда бұл тақырып бойынша тапсырмалар қарапайым болып көрінуі мүмкін, бірақ сіз жоғары математиканы оқып, ғылыми жағын тереңдете отырып, сіз болып жатқан нәрсеге бағдарлануды тоқтата аласыз. Бұған жол бермеу үшін есте сақтау ғана емес, сол немесе басқа беттің қалай алынғанын, коэффициенттердің өзгеруі оған және бастапқы координаталар жүйесіне қатысты орналасуына қалай әсер ететінін және жаңа жүйені қалай табуға болатынын түсіну керек. (оның центрі координаталар координаталарымен сәйкес келеді, ал симметрия осі координаталар осінің біріне параллель). Басынан бастайық.

Анықтама

GMT координаталары келесі түрдегі жалпы теңдеуді қанағаттандыратын 2-ші ретті бет деп аталады:

F(x, y, z)=0.

Бетке жататын әрбір нүктенің белгілі бір негізде үш координатасы болуы керек екені анық. Кейбір жағдайларда нүктелердің орналасуы, мысалы, жазықтыққа айналуы мүмкін. Бұл тек координаттардың біреуі тұрақты және барлық рұқсат етілген мәндер ауқымында нөлге тең екенін білдіреді.

Жоғарыда аталған теңдіктің толық боялған түрі келесідей:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm– кейбір тұрақтылар, x, y, z – қандай да бір нүктенің аффиндік координаталарына сәйкес айнымалылар. Бұл жағдайда тұрақты факторлардың кем дегенде біреуі нөлге тең болмауы керек, яғни ешбір нүкте теңдеумен сәйкес келмейді.}

Мысалылардың басым көпшілігінде көптеген сандық факторлар әлі де бірдей нөлге тең және теңдеу айтарлықтай жеңілдетілген. Практикада нүктенің бетке жататынын анықтау қиын емес (теңдеуде оның координаталарын қойып, сәйкестіктің сақталғанын тексеру жеткілікті). Мұндай жұмыстағы негізгі мәселе соңғысын канондық пішінге келтіру болып табылады.

Жоғарыда жазылған теңдеу 2-ші ретті кез келген (төменде көрсетілген) беттерді анықтайды. Төменде мысалдарды қарастырамыз.

2-ші ретті беттердің түрлері

2-ші ретті беттердің теңдеулері тек A_{nm коэффициенттерінің мәндерінде ғана ерекшеленеді. Жалпы көзқарас бойынша, тұрақтылардың белгілі бір мәндері үшін келесідей жіктелген әртүрлі беттерді алуға болады:}

1. Цилиндрлер.
2. Элиптикалық түрі.
3. Гиперболалық түрі.
4. Конус түрі.
5. Параболалық түрі.
6. Ұшақтар.

Тізімделген түрлердің әрқайсысының табиғи және ойдан шығарылған пішіні бар: елестетілген пішінде нақты нүктелердің локусы не қарапайым фигураға азаяды, не мүлде жоқ.

Цилиндрлер

Бұл ең қарапайым түрі, өйткені салыстырмалы түрде күрделі қисық бағыттаушы ретінде әрекет ететін негізде ғана жатады. Генераторлар негізі жатқан жазықтыққа перпендикуляр түзулер.

Графикте дөңгелек цилиндр, эллиптикалық цилиндрдің ерекше жағдайы көрсетілген. XY жазықтығында оның проекциясы эллипс (біздің жағдайда шеңбер) – бағыттаушы, ал XZ – тіктөртбұрыш болады – генераторлар Z осіне параллель болғандықтан. Оны жалпы теңдеуден алу үшін қажет. коэффициенттерге келесі мәндер берілсін:

Кәдімгі таңбалардың орнына реттік нөмірі бар x, y, z, x пайдаланылады - бұл маңызды емес.

Шын мәнінде, 1/a2және осы жерде көрсетілген басқа тұрақтылар жалпы теңдеуде көрсетілген коэффициенттермен бірдей, бірақ оларды осы формада жазу әдеттегідей - бұл канондық көрініс. Әрі қарай тек осындай белгі қолданылады.

Гиперболалық цилиндр осылай анықталады. Схема бірдей - гипербола нұсқаулық болады.

y2=2px

Параболалық цилиндр біршама басқаша анықталады: оның канондық түріне параметр деп аталатын p коэффициенті кіреді. Шын мәнінде, коэффициент q=2p тең, бірақ оны ұсынылған екі факторға бөлу әдеттегідей.

Цилиндрдің тағы бір түрі бар: ойдан шығарылған. Мұндай цилиндрге ешқандай нақты нүкте жатпайды. Ол теңдеу арқылы сипатталадыэллиптикалық цилиндр, бірақ бірлік орнына -1.

Элиптикалық түрі

Эллипсоидты осьтердің бірінің бойымен созуға болады (оның бойымен ол жоғарыда көрсетілген a, b, c тұрақтыларының мәндеріне байланысты; үлкенірек оське үлкенірек коэффициент сәйкес келетіні анық.).

Елес эллипсоид те бар - координаттардың коэффиценттерге көбейтіндісінің қосындысы -1 болған жағдайда:

Гиперболоидтар

Тұрақтылардың бірінде минус пайда болған кезде эллипсоидтық теңдеу бір парақты гиперболоидтың теңдеуіне айналады. Түсіну керек, бұл минус x₃ координатасынан бұрын орналасуы қажет емес! Ол тек осьтердің қайсысы гиперболоидтың айналу осі болатынын анықтайды (немесе оған параллель, өйткені шаршыда қосымша терминдер пайда болған кезде (мысалы, (x-2))^{2) фигураның центрі жылжиды, нәтижесінде, бет координат осіне параллель қозғалады). Бұл барлық 2 ретті беттерге қолданылады.}

Сонымен қатар, теңдеулер канондық түрде берілгенін және оларды тұрақты мәндерді өзгерту арқылы өзгертуге болатынын түсіну керек (таңба сақталады!); ал олардың пішіні (гиперболоид, конус және т.б.) өзгеріссіз қалады.

Бұл теңдеу екі парақты гиперболоид арқылы берілген.

Конусты бет

Конус теңдеуінде бірлік жоқ - нөлге теңдік.

Шектелген конустық бет қана конус деп аталады. Төмендегі суретте диаграммада конус деп аталатын екі нәрсе болатыны көрсетілген.

Маңызды ескерту: барлық қарастырылған канондық теңдеулерде тұрақтылар әдепкі бойынша оң қабылданады. Әйтпесе, белгі соңғы диаграммаға әсер етуі мүмкін.

Координаталық жазықтықтар конустың симметрия жазықтықтарына айналады, симметрия центрі координат басында орналасқан.

Елес конус теңдеуінде тек плюс бар; оның бір нақты ұпайы бар.

Параболоидтар

Кеңістіктегі 2-ші ретті беттер тіпті ұқсас теңдеулердің өзінде әртүрлі пішінді қабылдай алады. Мысалы, параболоидтардың екі түрі бар.

x²/a²+y²/b^2=2z

Элиптикалық параболоид Z осі сызбаға перпендикуляр болғанда эллипске проекцияланады.

x²/a²-y²/b^2=2z

Гиперболалық параболоид: ZY-ге параллель жазықтықтары бар қималар параболаларды, ал XY-ге параллель жазықтықтары бар қималар гиперболаларды шығарады.

Қиылысатын жазықтықтар

2-ші ретті беттердің жазықтыққа айналу жағдайлары бар. Бұл ұшақтарды әртүрлі жолдармен орналастыруға болады.

Алдымен қиылысатын жазықтықтарды қарастырайық:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Канондық теңдеудің бұл түрлендіруі тек екі қиылысатын жазықтыққа әкеледі (қиял!); барлық нақты нүктелер теңдеуде жоқ координат осінде (канондықта - Z осінде).

Параллель ұшақтар

y²=a²

Бір ғана координат болғанда, 2-ші ретті беттер жұп параллель жазықтыққа айналады. Есіңізде болсын, Y орнына кез келген басқа айнымалы болуы мүмкін; онда басқа осьтерге параллель жазықтықтар алынады.

y²=−a²

Бұл жағдайда олар қиялға айналады.

Сәйкес келетін ұшақтар

y2=0

Осындай қарапайым теңдеумен жұп жазықтықтар біріне айналады - олар сәйкес келеді.

Үшөлшемді базис жағдайында жоғарыдағы теңдеу y=0 түзуін анықтамайтынын ұмытпаңыз! Онда қалған екі айнымалы жоқ, бірақ бұл олардың мәні тұрақты және нөлге тең екенін білдіреді.

Ғимарат

Оқушы үшін ең қиын жұмыстардың бірі - 2-ші ретті беттерді салу. Қисықтың осьтерге қатысты бұрыштарын және центрдің ығысуын ескере отырып, бір координат жүйесінен екіншісіне көшу одан да қиын. Аналитикалық көмегімен сызбаның болашақ көрінісін дәйекті түрде қалай анықтау керектігін қайталайықжол.

2-ші ретті бетті салу үшін сізге қажет:

• теңдеуді канондық түрге келтіру;
• зерттелетін беттің түрін анықтау;
• коэффицент мәндеріне негізделген құрастыру.

Төменде барлық түрлері қарастырылған:

Біріктіру үшін тапсырманың осы түрінің бір мысалын егжей-тегжейлі сипаттап көрейік.

Мысалдар

Теңдеу бар делік:

3(x²-2x+1)+6ж²+2z^{2+ 60ж+144=0}

Оны канондық пішінге келтірейік. Толық квадраттарды бөліп алайық, яғни қолда бар шарттарды қосындының немесе айырманың квадратының кеңеюі болатындай етіп орналастырайық. Мысалы: (a+1)²=a²+2a+1 болса, a²+2a +1=(a+1)^{2. Екінші операцияны жасаймыз. Бұл жағдайда жақшаларды ашудың қажеті жоқ, өйткені бұл тек есептеулерді қиындатады, бірақ жалпы 6 коэффициентін (Y-ның толық квадраты бар жақшада) алып тастау керек:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Z айнымалысы бұл жағдайда тек бір рет кездеседі - оны әзірше жалғыз қалдыра аласыз.

Бұл кезеңде теңдеуді талдаймыз: барлық белгісіздердің алдында қосу белгісі қойылады; алтыға бөлгенде біреуі қалады. Демек, бізде эллипсоидты анықтайтын теңдеу бар.

144 саны 150-6-ға көбейтілгенін, содан кейін -6 оңға жылжытылғанын ескеріңіз. Неліктен мұны осылай жасау керек болды? Әлбетте, бұл мысалдағы ең үлкен бөлгіш -6, сондықтан оны бөлгеннен кейінбіреуі оң жақта қалды, 144-тен дәл 6-ны «кейінге қалдыру» керек (оң жақта болу керек екендігі бос мүшенің болуымен көрсетіледі - белгісізге көбейтілмейтін тұрақты).

Барлығын алтыға бөліп, эллипсоидтың канондық теңдеуін алыңыз:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Бұрын қолданылған 2-ші ретті беттердің классификациясында фигураның центрі координаталар басында болған кезде ерекше жағдай қарастырылады. Бұл мысалда ол ығыстырылған.

Біз белгісіздері бар әрбір жақша жаңа айнымалы деп есептейміз. Яғни: a=x-1, b=y+5, c=z. Жаңа координаталарда эллипсоидтың центрі (0, 0, 0) нүктесімен сәйкес келеді, демек, a=b=c=0, мұндағы: x=1, y=-5, z=0. Бастапқы координаттарда фигураның центрі (1, -5, 0) нүктесінде болады.

Эллипсоид екі эллипстен алынады: біріншісі XY жазықтығында және екіншісі XZ жазықтығында (немесе YZ - бұл маңызды емес). Айнымалылар бөлінетін коэффициенттер канондық теңдеуде квадрат болып табылады. Сондықтан жоғарыдағы мысалда екінің, бірдің және үштің түбірімен бөлген дұрысырақ болар еді.

Бірінші эллипстің Y осіне параллельді кіші осі екі. x осіне параллель үлкен ось екінің екі түбірі. Y осіне параллель екінші эллипстің кіші осі өзгеріссіз қалады - ол екіге тең. Ал Z осіне параллель үлкен ос үштің екі түбіріне тең.

Бастапқы теңдеуден канондық түрге көшіру арқылы алынған деректердің көмегімен эллипсоид салуға болады.

Қорытынды

Осы мақалада қарастырылғантақырып өте ауқымды, бірақ, шын мәнінде, қазір көріп отырғаныңыздай, өте күрделі емес. Оның дамуы, шын мәнінде, беттердің атаулары мен теңдеулерін (және, әрине, олардың қалай көрінетінін) есте сақтау сәтінде аяқталады. Жоғарыдағы мысалда біз әрбір қадамды егжей-тегжейлі талқыладық, бірақ теңдеуді канондық пішінге келтіру үшін жоғары математикадан аз білім қажет және студентке ешқандай қиындық тудырмауы керек.

Бар теңдік бойынша болашақ кестені талдау қазірдің өзінде қиынырақ міндет. Бірақ оны сәтті шешу үшін сәйкес екінші ретті қисықтардың - эллипстердің, параболалардың және т.б. қалай салынғанын түсіну жеткілікті.

Азғындау жағдайлары - одан да қарапайым бөлім. Кейбір айнымалы мәндердің болмауына байланысты, жоғарыда айтылғандай, есептеулер ғана емес, сонымен қатар құрылыстың өзі де жеңілдетілген.

Беттердің барлық түрлерін сенімді түрде атай алсаңыз, константаларды өзгертіңіз, графикті сол немесе басқа пішінге айналдырыңыз - тақырып игеріледі.

Оқуыңызда сәттілік!