Арифметика дегеніміз не? Адамзат қашан сандарды қолданып, олармен жұмыс істей бастады? Адам өмірі мен дүниетанымының ажырамас бөлігіне айналдырған сан, бөлшек, азайту, қосу, көбейту сияқты күнделікті ұғымдардың тамыры қайда жатыр? Ежелгі грек саналары математика, арифметика және геометрия сияқты ғылымдарды адам логикасының ең әдемі симфониялары ретінде таң қалдырды.
Арифметика басқа ғылымдар сияқты терең емес шығар, бірақ адам қарапайым көбейту кестесін ұмытып кетсе не болады? Сандарды, бөлшектерді және басқа құралдарды пайдалана отырып, бізге үйреншікті логикалық ойлау адамдар үшін оңай болған жоқ және ата-бабаларымызға ұзақ уақыт бойы қол жетімсіз болды. Шындығында, арифметика дамығанға дейін адам білімінің ешбір саласы шын мәнінде ғылыми болған емес.
Арифметика – математиканың АВС көрсеткіші
Арифметика – сандар туралы ғылым, оның көмегімен кез келген адам математиканың қызықты әлемімен таныса бастайды. М. В. Ломоносов айтқандай, арифметика – бізге дүние тануға жол ашатын білімнің қақпасы. Бірақ ол дұрысДүние білімін сандар мен әріптерді, математика мен сөйлеуді білуден ажыратуға бола ма? Бұрынғы заманда шығар, бірақ ғылым мен техниканың қарқынды дамуы өз заңдарын талап ететін қазіргі заманда емес.
Грек тілінен шыққан «арифметика» (грекше «арифмос») сөзі «сан» дегенді білдіреді. Ол сандарды және олармен байланысты болуы мүмкін барлық нәрсені зерттейді. Бұл сандар әлемі: сандарға әртүрлі амалдар, сандық ережелер, көбейту, алу және т.б. байланысты есептерді шешу.
Арифметика математиканың бастапқы қадамы және оның алгебра, математикалық талдау, жоғары математика және т.б. сияқты күрделі бөлімдері үшін берік іргетас болып табылады деп жалпы қабылданған.
Арифметиканың негізгі нысаны
Арифметиканың негізі – қасиеттері мен заңдылықтары жоғары арифметика немесе сандар теориясында қарастырылатын бүтін сан. Шындығында, бүкіл ғимараттың беріктігі – математика – натурал сан сияқты шағын блокты қарастыру тәсілінің қаншалықты дұрыс қабылданғанына байланысты.
Сондықтан арифметика деген не деген сұраққа қарапайым жауап беруге болады: бұл сандар туралы ғылым. Иә, кәдімгі жеті, тоғыз және осы алуан түрлі қауымдастық туралы. Бастауыш әліпбисіз жақсы, тіпті ең қарапайым өлең жаза алмайтыныңыз сияқты, арифметикасыз қарапайым мәселені де шеше алмайсыз. Сондықтан барлық ғылымдар арифметика мен математика дамығаннан кейін ғана дамыды, бұған дейін тек болжамдар жиынтығы ғана болатын.
Арифметика – фантомдық ғылым
Арифметика дегеніміз не – жаратылыстану немесе фантом? Шындығында, ежелгі грек философтары дәлелдегендей, шындықта сандар да, цифрлар да жоқ. Бұл қоршаған ортаны оның процестерімен қарастырған кезде адамның ойлауында пайда болатын фантом ғана. Шынында да, сан дегеніміз не? Айналада біз сан деп атауға болатын мұндай нәрсені көрмейміз, керісінше, сан адам санасының әлемді зерттеу тәсілі. Немесе бұл өзімізді іштей зерттейтін шығар? Философтар бұл туралы көптеген ғасырлар бойы қатарынан дауласып келеді, сондықтан біз толық жауап беруге міндеттеме алмаймыз. Қалай болғанда да, арифметика өз орнын берік алып үлгергені сонша, қазіргі әлемде оның негіздерін білмейінше ешкімді әлеуметтік бейімделген деп санауға болмайды.
Натурал сан қалай пайда болды
Әрине, арифметика жұмыс істейтін негізгі нысан натурал сан, мысалы 1, 2, 3, 4, …, 152… т.б. Натурал сандар арифметикасы жай заттарды, мысалы, шабындықтағы сиырларды санаудың нәтижесі. Десе де, «көп» немесе «аз» анықтамасы бір кездері адамдарға сәйкес келмеді және олар санаудың жетілдірілген әдістерін ойлап табуға мәжбүр болды.
Бірақ нағыз серпіліс адам ойы 2 килограмм, 2 кірпіш және 2 бөлікті бірдей «екі» санымен белгілеуге болатын деңгейге жеткенде болды. Өйткені, сіз нысандардың формаларынан, қасиеттерінен және мағынасынан абстракциялауыңыз керек, содан кейін бұл объектілермен натурал сандар түрінде кейбір әрекеттерді орындауға болады. Осылайша сандар арифметикасы дүниеге келді, олодан әрі дамып, кеңейіп, қоғам өмірінде барған сайын үлкен орындарға ие болды.
Нөл және теріс сан, бөлшектер, сандарды сандар арқылы белгілеу және басқа тәсілдер сияқты терең ұғымдардың даму тарихы бай және қызықты.
Арифметикалық және практикалық мысырлықтар
Айналамыздағы әлемді зерттеп, күнделікті есептерді шешудегі ең көне екі адам – арифметика және геометрия.
Арифметика тарихы Ежелгі Шығыста: Үндістанда, Мысырда, Вавилонда және Қытайда бастау алады деп есептеледі. Осылайша, 20 ғасырға жататын египеттік Ринда папирусы (ол аттас иесіне тиесілі болғандықтан осылай аталған). BC басқа құнды деректерге қоса, бір бөлшекті әр түрлі бөлгіштері бар бөлшектердің қосындысына және бірге тең алымға кеңейтуді қамтиды.
Мысалы: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Бірақ мұндай күрделі ыдыраудың мәні неде? Өйткені, египеттік көзқарас сандар туралы абстрактілі ойларға шыдамады, керісінше, есептеулер тек практикалық мақсатта жасалды. Яғни, мысырлық, мысалы, қабір тұрғызу үшін ғана есептеулер сияқты нәрсемен айналысады. Құрылымның шетінің ұзындығын есептеу қажет болды, бұл адамды папирустың артына отыруға мәжбүр етті. Көріп отырғаныңыздай, Египеттің есептеулердегі ілгерілеуіне ғылымға деген сүйіспеншілік емес, жаппай құрылыс себеп болды.
Осы себепті папирустарда табылған есептеулерді бөлшек тақырыбына ой толғау деп атауға болмайды. Сірә, бұл болашақта көмектесетін практикалық дайындық.бөлшектермен есептер шығару. Көбейту кестесін білмейтін ежелгі мысырлықтар жеткілікті ұзақ есептеулер жүргізді, көптеген қосалқы тапсырмаларға ыдырайтын. Мүмкін бұл қосалқы тапсырмалардың бірі шығар. Мұндай дайындамалармен есептеулер өте еңбекқор және перспективасыз екенін түсіну оңай. Мүмкін осы себепті біз Ежелгі Египеттің математиканың дамуына қосқан зор үлесін көрмейміз.
Ежелгі Греция және философиялық арифметика
Ежелгі Шығыстың көптеген білімін абстрактілі, абстрактілі және философиялық рефлексиялардың әйгілі әуесқойлары ежелгі гректер сәтті игерді. Олар практикаға қызығушылық танытқан жоқ, бірақ ең жақсы теоретиктер мен ойшылдарды табу қиын. Бұл ғылымға пайдасын тигізді, өйткені арифметиканы шындықтан ажыратпай оны тереңдету мүмкін емес. Әрине, 10 сиыр мен 100 литр сүтті көбейтуге болады, бірақ алысқа жете алмайсыз.
Терең ойлы гректер тарихта елеулі із қалдырды және олардың жазбалары бізге дейін жетті:
- Евклид және элементтер.
- Пифагор.
- Архимед.
- Эратосфен.
- Зено.
- Анаксагор.
Ал, әрине, бәрін философияға айналдырған гректер, әсіресе Пифагор шығармашылығының ізбасарлары сандарды қызықтырғаны соншалық, олар оларды дүние гармониясының құпиясы деп санады. Сандардың зерттелгені және зерттелгені соншалық, олардың кейбіреулеріне және олардың жұптарына ерекше қасиеттер берілген. Мысалы:
- Мінсіз сандар - санның өзінен басқа (6=1+2+3) барлық бөлгіштерінің қосындысына тең сандар.
- Жақсы нөмірлер - бұл нөмірлер, олардың біріекіншінің барлық бөлгіштерінің қосындысына тең және керісінше (пифагоршылар мұндай жұптардың біреуін ғана білетін: 220 және 284).
Ғылымды сүю керек, пайда үшін онымен бірге болу керек деп есептеген гректер барлау, ойнау, сандарды қосу арқылы үлкен жетістікке жетті. Айта кету керек, олардың барлық зерттеулері кеңінен қолданылмаған, кейбіреулері тек «сұлулық үшін» қалды.
Орта ғасырдағы шығыс ойшылдары
Сол сияқты орта ғасырларда арифметика өзінің дамуы үшін шығыс замандастарына қарыздар. Үнділер бізге біз белсенді түрде қолданатын сандарды, мысалы, «нөл» ұғымын және қазіргі заманғы қабылдауға таныс есептеудің позициялық нұсқасын берді. 15 ғасырда Самарқандта жұмыс істеген Әл-Кашиден ондық бөлшектерді мұра еттік, онсыз қазіргі арифметиканы елестету қиын.
Еуропаның Шығыс елдерінің жетістіктерімен танысуы көп жағынан итальяндық ғалым Леонардо Фибоначчидің шығыс жаңалықтарын енгізген «Абак кітабы» еңбегінің арқасында мүмкін болды. Ол Еуропадағы алгебра мен арифметиканың, зерттеу мен ғылыми қызметтің дамуының ірге тасы болды.
Орыс арифметикасы
Ақырында Еуропада өз орнын тауып, тамырын жайған арифметика орыс жеріне де тарай бастады. Бірінші орыс арифметикасы 1703 жылы жарық көрді - бұл Леонтий Магнитскийдің арифметика туралы кітабы болды. Ол ұзақ уақыт бойы математикадан жалғыз оқулық болып қала берді. Ол алгебра мен геометрияның бастапқы сәттерін қамтиды. Ресейдегі алғашқы арифметика оқулығының мысалдарында қолданылған сандар араб тілі. Араб сандары бұрын да кездескенімен, 17 ғасырға жататын гравюраларда.
Кітаптың өзі Архимед пен Пифагордың бейнелерімен безендірілген, ал бірінші парақта әйел бейнесіндегі арифметика бейнеленген. Ол таққа отырады, оның астында еврей тілінде Құдайдың есімін білдіретін сөз жазылған, ал таққа апаратын баспалдақтарда «бөліну», «көбейту», «қосу» т.б сөздер жазылған. олар қазір қарапайым болып саналады.
600 беттік оқулық қосу және көбейту кестелері сияқты негізгі мәліметтерді және навигациялық ғылымдарға арналған қолданбаларды қамтиды.
Кітабы үшін автордың грек ойшылдарының образдарын таңдауы ғажап емес, өйткені оның өзі де арифметика сұлулығына баурап: «Арифметика – санау, өнері бар – адал, қызғанбайтын…» деп.. Арифметикаға деген бұл көзқарас әбден ақталған, өйткені дәл оның кеңінен енгізілуі Ресейдегі ғылыми ойдың және жалпы білімнің қарқынды дамуының бастамасы деп санауға болады.
Негізгі жай сандар
Жай сан – тек екі оң бөлгіші бар натурал сан: 1 және өзі. 1-ден басқа барлық басқа сандар құрама деп аталады. Жай сандардың мысалдары: 2, 3, 5, 7, 11 және 1 және өзінен басқа бөлгіштері жоқ барлық басқа сандар.
1 санына келсек, ол арнайы аккаунтта - оны қарапайым да, құрама да деп санауға болмайды деген келісім бар. Бір қарағанда қарапайым, қарапайым сан өз ішінде көптеген шешілмеген жұмбақтарды жасырады.
Евклид теоремасы жай сандардың шексіз саны бар екенін айтады, ал Эратосфен жай емес сандарды жойып, жай сандарды ғана қалдыратын арнайы арифметикалық «елеуіш» ойлап тапты.
Оның мәні бірінші сызылмаған санның астын сызу, содан кейін оған еселік сандарды сызып тастау. Біз бұл процедураны бірнеше рет қайталаймыз - және біз жай сандар кестесін аламыз.
Арифметиканың негізгі теоремасы
Жай сандар туралы бақылаулардың ішінде арифметиканың негізгі теоремасын ерекше атап өту керек.
Арифметиканың іргелі теоремасы 1-ден үлкен кез келген бүтін санның жай сан екенін немесе оны көбейткіштер ретіне дейін және бірегей жолмен жай сандардың көбейтіндісіне ыдыратуға болатынын айтады.
Арифметиканың негізгі теоремасы өте қиын екені дәлелденді және оны түсіну енді қарапайым негіздер сияқты емес.
Бір қарағанда жай сандар қарапайым ұғым, бірақ олай емес. Физика да бір кездері атомды оның ішінде бүкіл ғаламды тапқанға дейін элементар деп санаған. Математик Дон Цагирдің "Алғашқы елу миллион жай сандар" атты тамаша әңгімесі жай сандарға арналған.
"үш алмадан" дедуктивті заңдарға
Барлық ғылымның нығайтылған негізін шын мәнінде арифметика заңдары деп атауға болады. Балалық шағында да бәрі арифметикамен бетпе-бет келеді, қуыршақтардың аяқтары мен қолдарының санын зерттейді,текшелердің, алмалардың және т.б. саны. Біз арифметиканы осылай зерттейміз, ол кейін күрделірек ережелерге ауысады.
Біздің бүкіл өміріміз бізді арифметика ережелерімен таныстырады, олар қарапайым адам үшін ғылым беретін барлық нәрселердің ішіндегі ең пайдалысы болды. Сандарды зерттеу – «арифметика-бала», ол адамды ерте балалық шағында сандар түріндегі сандар әлемімен таныстырады.
Жоғары арифметика – арифметика заңдарын зерттейтін дедуктивті ғылым. Біз олардың көпшілігін білеміз, бірақ олардың нақты сөздерін білмеуіміз мүмкін.
Қосу және көбейту заңы
Екі кез келген а және b натурал сандарын a+b қосындысы ретінде көрсетуге болады, ол да натурал сан болады. Қосымшаға келесі заңдар қолданылады:
- Коммутативті, ол қосынды мүшелерді қайта орналастырудан өзгермейтінін айтады немесе a+b=b+a.
- Ассоциативті, ол қосынды терминдердің орындарда топтастырылу жолына байланысты емес немесе a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Қосу сияқты арифметика ережелері ең қарапайым ережелердің бірі, бірақ оларды күнделікті өмірді айтпағанда, барлық ғылымдар пайдаланады.
Екі кез келген а және b натурал сандарын ab немесе ab көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады, бұл да натурал сан. Қосуға қатысты сияқты ауыспалы және ассоциативті заңдар өнімге де қолданылады:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Қызыққосу мен көбейтуді біріктіретін заң бар, оны үлестіруші немесе үлестіруші заң деп те атайды:
a(b+c)=ab+ac
Бұл заң бізге жақшаларды кеңейту арқылы жұмыс істеуге үйретеді, осылайша біз күрделірек формулалармен жұмыс істей аламыз. Бұл алгебраның таңғаларлық және күрделі әлемінде бізге жол көрсететін заңдар.
Арифметикалық реттілік заңы
Тәртіп заңын адам логикасы күнделікті сағаттарды салыстыру және банкноттарды санау үшін қолданады. Соған қарамастан, оны арнайы тұжырымдар түрінде ресімдеу қажет.
Егер бізде екі натурал саны a және b болса, онда келесі опциялар мүмкін:
- a тең b, немесе a=b;
- a b мәнінен кіші немесе < b;
- a b мәнінен үлкен немесе > b.
Үш нұсқаның біреуі ғана әділ болуы мүмкін. Бұйрықты реттейтін негізгі заң былай дейді: егер a < b және b < c, онда a< c.
Көбейту және қосу тәртібіне қатысты заңдар да бар: егер a< b болса, онда a + c < b+c және ac< bc.
Арифметика заңдары бізді сандармен, белгілермен және жақшалармен жұмыс істеуге үйретеді, барлығын сандардың үйлесімді симфониясына айналдырады.
Позициялық және позициялық емес есептеу
Сандар математикалық тіл деп айтуға болады, оның ыңғайлылығына көп нәрсе байланысты. Әртүрлі тілдердің алфавиттері сияқты бір-бірінен ерекшеленетін көптеген санау жүйелері бар.
Санау жүйелерін позицияның сандық мәнге әсері тұрғысынан қарастырайықосы позициядағы сандар. Мәселен, мысалы, римдік жүйе позициялық емес, мұнда әрбір сан арнайы таңбалардың белгілі бір жиынтығымен кодталады: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Олар сәйкесінше 1 сандарына тең. / 5/10/50/100/500/ 1000. Мұндай жүйеде сан қандай позицияда тұрғанына байланысты өзінің сандық анықтамасын өзгертпейді: бірінші, екінші және т.б. Басқа сандарды алу үшін негізгі сандарды қосу керек. Мысалы:
- DCC=700.
- CCM=800.
Араб цифрларын қолданатын бізге көбірек таныс санау жүйесі позициялық. Мұндай жүйеде санның цифры цифрлардың санын анықтайды, мысалы, үш таңбалы сандар: 333, 567 және т.б. Кез келген цифрдың салмағы сол немесе басқа цифрдың орналасқан орнына байланысты, мысалы, екінші позициядағы 8 санының мәні 80. Бұл ондық жүйеге тән, басқа позициялық жүйелер бар, мысалы., екілік.
Екілік арифметика
Біз бір таңбалы және көп таңбалы сандардан тұратын ондық жүйемен таныспыз. Көп таңбалы санның сол жағындағы сан оң жағындағы саннан он есе маңызды. Демек, біз 2, 17, 467, т.б. оқуға үйреніп қалғанбыз… «Екілік арифметика» деп аталатын бөлімде мүлде басқа логика мен амал бар. Бұл таңқаларлық емес, өйткені екілік арифметика адам логикасы үшін емес, компьютерлік логика үшін жасалған. Егер сандар арифметикасы объектілерді санаудан туындаса, ол объектінің қасиеттерінен одан әрі абстракцияланған «жалаңаш» арифметика болса, онда бұл компьютерде жұмыс істемейді. Бөлісе білу үшінАдам компьютерді білгендіктен есептеудің осындай үлгісін ойлап табуға мәжбүр болды.
Екілік арифметика тек 0 және 1-ден тұратын екілік алфавитпен жұмыс істейді. Ал бұл алфавитті пайдалану екілік жүйе деп аталады.
Екілік арифметика мен ондық арифметиканың айырмашылығы сол жақтағы позицияның маңыздылығы бұдан былай 10 емес, 2 есе. Екілік сандар 111, 1001, т.б. пішінді. Мұндай сандарды қалай түсінуге болады? Сонымен, 1100 санын қарастырайық:
- Сол жақтағы бірінші сан 18=8, төртінші цифр, яғни оны 2-ге көбейту керек екенін есте ұстасақ, біз 8-позицияны аламыз.
- Екінші сан 14=4 (4-позиция).
- Үшінші сан 02=0 (2-позиция).
- Төртінші сан 01=0 (1-позиция).
- Сонымен біздің сан 1100=8+4+0+0=12.
Яғни, сол жақтағы жаңа цифрға көшкенде оның екілік жүйедегі маңызы 2-ге, ал ондық санау жүйесінде - 10-ға көбейтіледі. Мұндай жүйеде бір минус бар: бұл тым үлкен өсу сандарды жазу үшін қажет сандар. Ондық сандарды екілік сандар ретінде көрсету мысалдарын келесі кестеден табуға болады.
Төменде екілік түрдегі ондық сандар көрсетілген.
Сегіздік және он алтылық жүйелер де қолданылады.
Бұл жұмбақ арифметика
Арифметика дегеніміз не, «екі есе екі» немесе сандардың зерттелмеген құпиялары? Көріп отырғаныңыздай, арифметика бір қарағанда қарапайым болып көрінуі мүмкін, бірақ оның көзге көрінбейтін жеңілдігі алдамшы. Оны Үкі апаймен бірге балалар да оқи алады«Арифметика-бала» мультфильмі және сіз дерлік философиялық тәртіпті терең ғылыми зерттеулерге батыра аласыз. Тарихта ол заттарды санаудан сан сұлулығына табынуға көшті. Бір ғана нәрсе анық: арифметиканың негізгі постулаттарын орнату арқылы барлық ғылым оның мықты иығына сүйенеді.
