Кеңістіктік фигуралардың көлемін есептей білу геометрияның бірқатар практикалық есептерін шешуде маңызды. Ең көп таралған пішіндердің бірі - пирамида. Бұл мақалада пирамиданың толық және қысқартылған көлемінің формулаларын қарастырамыз.
Пирамида үш өлшемді фигура
Мысыр пирамидалары туралы бәрі біледі, сондықтан олар қандай фигураның талқыланатынын жақсы біледі. Дегенмен, Египеттің тас құрылымдары үлкен пирамидалар класының ерекше жағдайы ғана.
Жалпы жағдайда қарастырылатын геометриялық нысан көпбұрышты табан болып табылады, оның әрбір төбесі кеңістіктегі базалық жазықтыққа жатпайтын қандай да бір нүктеге қосылған. Бұл анықтама бір n-бұрыш пен n үшбұрыштан тұратын фигураға әкеледі.
Кез келген пирамида n+1 жағынан, 2n шетінен және n+1 төбесінен тұрады. Қарастырылып отырған фигура тамаша көп қырлы болғандықтан, белгіленген элементтердің саны Эйлер теңдігіне бағынады:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Негізіндегі көпбұрыш пирамиданың атын береді,мысалы, үшбұрышты, бесбұрышты және т.б. Негіздері әртүрлі пирамидалар жинағы төмендегі фотода көрсетілген.
Фигураның n үшбұрышы қосылған нүкте пирамиданың төбесі деп аталады. Егер одан табанға перпендикуляр түсірілсе және ол оны геометриялық орталықта қиып өтсе, онда мұндай фигураны түзу деп атайды. Егер бұл шарт орындалмаса, онда көлбеу пирамида бар.
Табасы тең бүйірлі (тең бұрышты) n-бұрыштан тұратын түзу фигураны дұрыс деп атайды.
Пирамида көлемінің формуласы
Пирамиданың көлемін есептеу үшін интегралдық есептеуді қолданамыз. Ол үшін фигураны табанына параллель секант жазықтықтары арқылы шексіз көп жұқа қабаттарға бөлеміз. Төмендегі суретте биіктігі h және бүйірінің ұзындығы L төртбұрышты пирамида көрсетілген, оның кесіндісінің жұқа қабаты төртбұрышпен белгіленген.
Осындай әрбір қабаттың ауданын мына формула арқылы есептеуге болады:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Мұнда A0 - негіздің ауданы, z - тік координатаның мәні. Егер z=0 болса, формула A0 мәнін беретінін көруге болады.
Пирамида көлемінің формуласын алу үшін фигураның бүкіл биіктігіне интегралды есептеу керек, яғни:
V=∫h0(A(z)dz).
А(z) тәуелділігін қойып, антитуындыны есептеп, мына өрнекке келеміз:
V=-A0(h-z)3/(3с2)| h0=1/3A0сағ.
Пирамида көлемінің формуласын алдық. V мәнін табу үшін фигураның биіктігін негіздің ауданына көбейтіп, нәтижені үшке бөлу жеткілікті.
Нәтижедегі өрнек ерікті типтегі пирамиданың көлемін есептеу үшін жарамды екенін ескеріңіз. Яғни, ол көлбеу болуы мүмкін және оның негізі ерікті n-бұрыш болуы мүмкін.
Дұрыс пирамида және оның көлемі
Жоғарыдағы абзацта алынған көлемнің жалпы формуласын негізі дұрыс пирамида жағдайында нақтылауға болады. Мұндай негіздің ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Мұнда L – n төбесі бар дұрыс көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы. pi таңбасы - pi саны.
Жалпы формулаға A0 өрнекін қойып, кәдімгі пирамиданың көлемін аламыз:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Мысалы, үшбұрышты пирамида үшін бұл формула келесі өрнекке әкеледі:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2сағ.
Кәдімгі төртбұрышты пирамида үшін көлем формуласы:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2сағ.
Тұрақты пирамидалардың көлемін анықтау үшін олардың табанының жағы мен фигураның биіктігін білу қажет.
Қиық пирамида
Алдық делікерікті пирамида және оның жоғарғы бөлігін қамтитын бүйір бетінің бір бөлігін кесіп тастаңыз. Қалған фигура кесілген пирамида деп аталады. Ол қазірдің өзінде екі n-бұрышты негізден және оларды қосатын n трапециядан тұрады. Егер қиюшы жазықтық фигураның табанына параллель болса, онда параллель ұқсас табандары бар кесілген пирамида пайда болады. Яғни, олардың біреуінің қабырғаларының ұзындықтарын екіншісінің ұзындықтарын қандай да бір k коэффициентіне көбейту арқылы алуға болады.
Жоғарыдағы суретте кесілген қалыпты алтыбұрышты пирамида көрсетілген. Оның үстіңгі табаны, төменгісі сияқты, кәдімгі алтыбұрыштан тұратынын көруге болады.
Берілгенге ұқсас интегралдық есептеуді пайдаланып шығаруға болатын кесілген пирамида көлемінің формуласы:
V=1/3сағ(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Мұндағы A0 және A1 сәйкесінше төменгі (үлкен) және жоғарғы (кіші) негіздердің аудандары. h айнымалысы кесілген пирамиданың биіктігі болып табылады.
Хеопс пирамидасының көлемі
Ең үлкен Египет пирамидасының ішіндегі көлемді анықтау мәселесін шешу қызықты.
1984 жылы британдық египтологтар Марк Ленер мен Джон Гудман Хеопс пирамидасының нақты өлшемдерін анықтады. Оның бастапқы биіктігі 146,50 метр (қазіргі уақытта шамамен 137 метр) болды. Құрылымның төрт жағының әрқайсысының орташа ұзындығы 230,363 метрді құрады. Пирамиданың негізі жоғары дәлдікпен төртбұрышты.
Берілген сандар арқылы осы тас алыптың көлемін анықтайық. Пирамида дұрыс төртбұрыш болғандықтан, ол үшін формула жарамды:
V4=1/3L2сағ.
Сандарды ауыстырсақ, аламыз:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Хеопс пирамидасының көлемі 2,6 миллион м3 дерлік. Салыстыру үшін олимпиадалық бассейннің көлемі 2,5 мың м3 екенін атап өтеміз. Яғни, бүкіл Хеопс пирамидасын толтыру үшін осы бассейндердің 1000-нан астамы қажет болады!
