Кеңістіктік фигуралардың көлемдерін есептеу стереометрияның маңызды міндеттерінің бірі болып табылады. Бұл мақалада пирамида сияқты көпбұрыштың көлемін анықтау мәселесін қарастырамыз, сонымен қатар дұрыс алтыбұрышты пирамиданың көлемінің формуласын береміз.
алтыбұрышты пирамида
Алдымен мақалада талқыланатын цифрдың не екенін көрейік.
Қабырғалары міндетті түрде бір-біріне тең болмайтын ерікті алтыбұрыш алайық. Сондай-ақ, біз кеңістікте алтыбұрыш жазықтығында емес нүктені таңдадық делік. Соңғысының барлық бұрыштарын таңдалған нүктемен байланыстыру арқылы біз пирамида аламыз. Төмендегі суретте алтыбұрышты негізі бар екі түрлі пирамида көрсетілген.
Алтыбұрыштан басқа фигура алты үшбұрыштан тұратынын көруге болады, олардың қосылу нүктесі шыңы деп аталады. Бейнеленген пирамидалардың айырмашылығы - олардың оң жағындағы биіктігі h оның геометриялық центріндегі алтыбұрышты табанмен қиылыспайды, ал сол жақ фигураның биіктігі төмендейді.дәл сол орталықта. Осы критерийдің арқасында сол пирамида түзу, ал оң жақ - қиғаш деп аталды.
Суретте сол жақ фигураның табаны қабырғалары мен бұрыштары бірдей алтыбұрыштан құралғандықтан, ол дұрыс деп аталады. Әрі қарай мақалада біз тек осы пирамида туралы айтатын боламыз.
Алтыбұрышты пирамиданың көлемі
Ерікті пирамиданың көлемін есептеу үшін келесі формула жарамды:
V=1/3сағSo
Мұнда h – фигураның биіктігінің ұзындығы, So – оның табанының ауданы. Кәдімгі алтыбұрышты пирамиданың көлемін анықтау үшін осы өрнекті қолданайық.
Қарастырылып отырған фигура теңбүйірлі алтыбұрышқа негізделгендіктен оның ауданын есептеу үшін n-бұрыш үшін келесі жалпы өрнекті қолдануға болады:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Мұнда n – көпбұрыштың қабырғаларының (бұрыштарының) санына тең бүтін сан, a – оның қабырғасының ұзындығы, котангенс функциясы сәйкес кестелер арқылы есептеледі.
n=6 өрнегін қолданып, мынаны аламыз:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Енді бұл өрнекті V томның жалпы формуласына ауыстыру қалды:
V6=S6сағ=√3/2сағa2
Осылайша, қарастырылып отырған пирамиданың көлемін есептеу үшін оның екі сызықтық параметрін білу қажет: табанның жағының ұзындығы және фигураның биіктігі.
Есептерді шешу мысалы
Алынған V6 үшін алынған өрнекті келесі мәселені шешу үшін қалай пайдалануға болатынын көрсетейік.
Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың көлемі 100 см болатыны белгілі3. Негіз жағы мен фигураның биіктігін анықтау керек, егер олардың бір-бірімен келесі теңдікпен байланысатыны белгілі болса:
a=2сағ
Көлем формуласына тек a және h енгізілгендіктен, осы параметрлердің кез келгенін екіншісімен өрнектеуге болады. Мысалы, a орнына қойсақ, мынаны аламыз:
V6=√3/2сағ(2сағ)2=>
сағ=∛(V6/(2√3))
Фигураның биіктігінің мәнін табу үшін көлемнен ұзындық өлшеміне сәйкес келетін үшінші дәреженің түбірін алу керек. Мәселе мәлімдемесіндегі пирамиданың V6 көлемінің мәнін ауыстырамыз, биіктікті аламыз:
сағ=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 см
Негіздің жағы есеп шартына сәйкес табылған мәннен екі есе болғандықтан, оның мәнін аламыз:
a=2сағ=23, 0676=6, 1352см
Алтыбұрышты пирамиданың көлемін тек фигураның биіктігі мен табанының қабырғасының мәні арқылы ғана табуға болмайды. Оны есептеу үшін пирамиданың екі түрлі сызықтық параметрін білу жеткілікті, мысалы, апотема және бүйір жиегінің ұзындығы.
