Бір және бірнеше айнымалылардың дифференциалдық есептеу функциялары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Есеп – туындыны, дифференциалды және олардың функцияны зерттеуде қолданылуын зерттейтін есептеулер саласы.

Пайдалану тарихы

Дифференциалдық есептеу дербес пән ретінде 17 ғасырдың екінші жартысында дифференциалдар есептеуіндегі негізгі ережелерді тұжырымдап, интеграция мен дифференциалдау арасындағы байланысты байқаған Ньютон мен Лейбниц еңбектерінің арқасында пайда болды. Осы кезден бастап пән интегралдар есебімен бірге дамып, математикалық талдаудың негізін қалады. Бұл есептеулердің пайда болуы математикалық әлемде жаңа заманауи кезеңді ашып, ғылымда жаңа пәндердің пайда болуына себеп болды. Ол сондай-ақ математика ғылымын жаратылыстану және технология саласында қолдану мүмкіндігін кеңейтті.

Негізгі ұғымдар

Дифференциалдық есептеу математиканың іргелі тұжырымдамаларына негізделген. Олар: нақты сан, үздіксіздік, функция және шек. Уақыт өте олар интегралдық және дифференциалдық есептеулердің арқасында заманауи көрініске ие болды.

Жасау процесі

Қолданбалы, содан кейін ғылыми әдіс түріндегі дифференциалдық есептеудің қалыптасуы Николай Кузаский жасаған философиялық теорияның пайда болуына дейін болды. Оның еңбектері ежелгі ғылым үкімдерінен эволюциялық даму болып саналады. Философтың өзі математик болмағанымен, оның математика ғылымының дамуына қосқан үлесі даусыз. Кузанский алғашқылардың бірі болып арифметиканы ғылымның ең дәл саласы ретінде қарастырудан бас тартып, сол кездегі математикаға күмән келтірді.

Ежелгі математиктер бірлікті әмбебап критерий ретінде пайдаланса, философ нақты санның орнына жаңа өлшем ретінде шексіздікті ұсынды. Осыған байланысты математика ғылымында дәлдікті бейнелеу инверттелген. Ғылыми білім, оның ойынша, рационалды және интеллектуалды болып екіге бөлінеді. Екіншісі, ғалымның пікірінше, дәлірек, өйткені біріншісі тек шамамен нәтиже береді.

Идея

Дифференциалдық есептеудегі негізгі идея мен тұжырымдама белгілі бір нүктелердің шағын аудандарындағы функцияға қатысты. Ол үшін белгіленген нүктелердің шағын төңірегінде әрекеті көпмүше немесе сызықтық функцияның әрекетіне жақын болатын функцияны зерттеуге арналған математикалық аппарат құру қажет. Бұл туынды және дифференциал анықтамасына негізделген.

Туынды ұғымының пайда болуы жаратылыстану-математикадан көптеген есептерден туындаған,бұл бір түрдегі шектеулердің мәндерін табуға әкелді.

Орта мектептен бастап мысал ретінде келтірілетін негізгі есептердің бірі – түзу бойымен қозғалатын нүктенің жылдамдығын анықтау және осы қисыққа жанама түзу салу. Дифференциал осыған байланысты, өйткені функцияны сызықтық функцияның қарастырылатын нүктесінің шағын маңайында жақындатуға болады.

Нақты айнымалы функцияның туындысы ұғымымен салыстырғанда, дифференциал анықтамасы жай ғана жалпы сипаттағы функцияға, атап айтқанда, бір евклидтік кеңістіктің екіншісіндегі бейнесіне өтеді.

Туынды

Нүкте Oy осінің бағытымен қозғалсын, моменттің белгілі бір басынан бастап есептелетін х-ті алатын уақыт үшін. Мұндай қозғалысты y=f(x) функциясы арқылы сипаттауға болады, ол қозғалатын нүкте координатасының әрбір х моментіне тағайындалады. Механикада бұл функция қозғалыс заңы деп аталады. Қозғалыстың негізгі сипаттамасы, әсіресе біркелкі емес, лездік жылдамдық. Нүкте механика заңы бойынша Ой осінің бойымен қозғалғанда, кездейсоқ х моментінде f (x) координатасын алады. Δx уақыт өсімін білдіретін x + Δx уақыт моментінде оның координатасы f(x + Δx) болады. Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) формуласы осылай жасалады, ол функцияның өсімі деп аталады. Ол x пен x + Δx аралығындағы уақыт нүктесінің жүріп өткен жолын көрсетеді.

Осының пайда болуына байланыстыуақыттағы жылдамдық, туынды енгізілген. Ерікті функцияда белгіленген нүктедегі туынды шек деп аталады (ол бар болса). Оны белгілі бір белгілермен белгілеуге болады:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Туындыны есептеу процесі дифференциалдау деп аталады.

Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдық есебі

Бұл есептеу әдісі бірнеше айнымалысы бар функцияны зерттегенде пайдаланылады. Екі айнымалы x және y болған кезде, А нүктесіндегі х-ке қатысты жартылай туынды осы функцияның x-ке қатысты y тұрақты туындысы деп аталады.

Келесі таңбалармен ұсынылуы мүмкін:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x немесе ∂f(x, y)’/∂x.

Міндетті дағдылар

Интеграция және дифференциалдау дағдылары диффузияларды сәтті оқу және шеше білу үшін қажет. Дифференциалдық теңдеулерді түсінуді жеңілдету үшін туынды және анықталмаған интеграл тақырыбын жақсы түсіну керек. Сондай-ақ жасырын берілген функцияның туындысын табуды үйрену де зиян келтірмейді. Бұл интегралды және дифференциалды зерттеу процесінде жиі қолдануға тура келетініне байланысты.

Дифференциалдық теңдеулердің түрлері

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерге қатысты барлық дерлік сынақ жұмыстарында теңдеудің 3 түрі бар: біртекті, айнымалылары ажыратылатын, сызықтық біртекті емес.

Теңдеулердің сирек кездесетін түрлері де бар: толық дифференциалдармен, Бернулли теңдеулерімен және т.б.

Шешім негіздері

Біріншіден, мектеп курсындағы алгебралық теңдеулерді есте сақтау керек. Олардың құрамында айнымалылар мен сандар бар. Жай теңдеуді шешу үшін берілген шартты қанағаттандыратын сандар жиынын табу керек. Әдетте, мұндай теңдеулердің бір түбірі болады және дұрыстығын тексеру үшін бұл мәнді белгісізге ауыстыру жеткілікті.

Дифференциалдық теңдеу осыған ұқсас. Жалпы мұндай бірінші ретті теңдеу мыналарды қамтиды:

• Тәуелсіз айнымалы.
• Бірінші функцияның туындысы.
• Функция немесе тәуелді айнымалы.

Кейбір жағдайларда белгісіздердің бірі, x немесе y болмауы мүмкін, бірақ бұл соншалықты маңызды емес, өйткені жоғары ретті туындылары жоқ бірінші туындының болуы шешім мен дифференциал үшін қажет. есептеу дұрыс.

Дифференциалдық теңдеуді шешу берілген өрнекке сәйкес келетін барлық функциялар жиынын табуды білдіреді. Мұндай функциялар жиынын көбінесе DE жалпы шешімі деп атайды.

Интегралдық есептеу

Интегралдық есептеу – интеграл түсінігін, қасиеттерін және оны есептеу әдістерін зерттейтін математикалық талдау тарауларының бірі.

Көбінесе интегралды есептеу қисық сызықты фигураның ауданын есептеу кезінде орын алады. Бұл аймақ берілген фигураға сызылған көпбұрыштың ауданы оның бүйірінің бірте-бірте ұлғаюына бейім болатын шекті білдіреді, ал бұл жақтарды бұрын көрсетілген кез келген еркіннен аз етіп жасауға болады.шағын мән.

Ерікті геометриялық фигураның ауданын есептеудегі негізгі идея тіктөртбұрыштың ауданын есептеу, яғни оның ауданы ұзындығы мен енінің көбейтіндісіне тең екенін дәлелдеу. Геометрияға келетін болсақ, барлық конструкциялар сызғыш пен циркульдің көмегімен жасалады, содан кейін ұзындықтың енге қатынасы рационалды шама болып табылады. Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептегенде, егер сіз оның жанына бірдей үшбұрышты қойсаңыз, онда тіктөртбұрыш пайда болатынын анықтауға болады. Параллелограммда аудан тіктөртбұрыш пен үшбұрыш арқылы ұқсас, бірақ сәл күрделірек әдіспен есептеледі. Көпбұрыштарда аудан оған енгізілген үшбұрыштар арқылы есептеледі.

Еркін қисық сызығын анықтау кезінде бұл әдіс жұмыс істемейді. Егер сіз оны бір шаршыға бөлсеңіз, онда толтырылмаған орындар болады. Бұл жағдайда біреуі жоғарғы және төменгі жағында төртбұрыштары бар екі мұқабаны қолдануға тырысады, нәтижесінде олар функцияның графигін қамтиды және жоқ. Бұл тіктөртбұрыштарға бөлу әдісі мұнда маңызды болып қала береді. Сондай-ақ, барған сайын кішірек бөлімдерді алсақ, жоғарыдағы және астындағы аумақ белгілі бір мәнге жақындауы керек.

Тіктөртбұрыштарға бөлу әдісіне қайта оралу керек. Екі танымал әдіс бар.

Риман Лейбниц пен Ньютон құрған интегралдың анықтамасын субграфтың ауданы ретінде ресімдеді. Бұл жағдайда тік төртбұрыштардың белгілі бір санынан тұратын және бөлу арқылы алынған фигуралар қарастырылды.сегмент. Бөлім азайған сайын, ұқсас фигураның ауданы кішірейетін шек болған кезде, бұл шек берілген аралықтағы функцияның Риман интегралы деп аталады.

Екінші әдіс Лебег интегралын құру болып табылады, ол анықталған ауданды интегралдың бөліктеріне бөлу орны үшін, содан кейін осы бөліктерде алынған мәндерден интегралдық қосынды құрастырудан тұрады., оның мәндер диапазоны интервалдарға бөлінеді, содан кейін осы интегралдардың алдын ала кескіндерінің сәйкес өлшемдерімен қорытындыланады.

Заманауи артықшылықтар

Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді зерттеуге арналған негізгі оқу құралдарының бірін Фихтенгольц жазған – «Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы». Оның оқулығы көптеген басылымдар мен басқа тілдерге аудармалардан өткен математикалық талдауды зерттеудің іргелі құралы болып табылады. Университет студенттеріне арналған және көптеген оқу орындарында негізгі оқу құралдарының бірі ретінде бұрыннан қолданылып келеді. Теориялық мәліметтер мен практикалық дағдыларды береді. Алғаш рет 1948 жылы жарияланған.

Функцияны зерттеу алгоритмі

Функцияны дифференциалдық есептеу әдістерімен зерттеу үшін бұрыннан берілген алгоритмді орындау керек:

1. Функцияның ауқымын табыңыз.
2. Берілген теңдеудің түбірін табыңыз.
3. Шектен тыс мәндерді есептеңіз. Ол үшін туындыны және оның нөлге тең нүктелерін есептеңіз.
4. Нәтижедегі мәнді теңдеуге ауыстырыңыз.

Дифференциалдық теңдеулердің түрлері

бірінші ретті басқару (әйтпесе, дифференциалбір айнымалы есептеу) және олардың түрлері:

• Бөлінетін теңдеу: f(y)dy=g(x)dx.
• Ең қарапайым теңдеулер немесе бір айнымалы функцияның дифференциалдық есебі, формуласы: y'=f(x).
• Сызықтық біртекті емес бірінші ретті DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Бернулли дифференциалдық теңдеуі: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Толық дифференциалдары бар теңдеу: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер және олардың түрлері:

• Тұрақты коэффициент мәндері бар сызықтық екінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеу: y +py'+qy=0 p, q R-ға жатады.
• Тұрақты коэффициенттері бар сызықтық біртекті емес екінші ретті дифференциалдық теңдеу: y +py'+qy=f(x).
• Сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу: y +p(x)y'+q(x)y=0 және біртекті емес екінші ретті теңдеу: y +p(x)y'+q(x)y=f(x).

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер және олардың түрлері:

• Тәртіппен азайтуға болатын дифференциалдық теңдеу: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Сызықтық жоғары ретті біртекті теңдеу: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, және біртекті емес: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Дифференциалдық теңдеумен есеп шығару қадамдары

Қашықтан басқару құралының көмегімен тек математикалық немесе физикалық сұрақтар ғана емес, сонымен қатар әртүрлі есептер де шығарылады.биология, экономика, әлеуметтану және т.б. Тақырыптардың алуан түрлілігіне қарамастан, мұндай есептерді шешу кезінде бір логикалық дәйектілікті сақтау керек:

1. Қашықтан басқару құралының жинағы. Максималды дәлдікті талап ететін ең қиын қадамдардың бірі, өйткені кез келген қате мүлдем қате нәтижелерге әкеледі. Процесске әсер ететін барлық факторларды ескеріп, бастапқы шарттарды анықтау керек. Ол сондай-ақ фактілер мен логикалық қорытындыларға негізделуі керек.
2. Тұжырымдалған теңдеудің шешімі. Бұл процесс бірінші қадамға қарағанда оңайырақ, себебі ол тек қатаң математикалық есептеулерді қажет етеді.
3. Нәтижелерді талдау және бағалау. Алынған шешім нәтиженің практикалық және теориялық мәнін анықтау үшін бағалануы керек.

Медицинада дифференциалдық теңдеулерді қолдану мысалы

Медицина саласында қашықтан басқару құралын қолдану эпидемиологиялық математикалық модельді құру кезінде орын алады. Сонымен бірге бұл теңдеулердің медицинаға жақын биология мен химияда да кездесетінін ұмытпау керек, өйткені онда әртүрлі биологиялық популяциялар мен адам ағзасындағы химиялық процестерді зерттеу маңызды рөл атқарады.

Жоғарыдағы эпидемия мысалында оқшауланған қоғамда инфекцияның таралуын қарастыруға болады. Тұрғындар үш түрге бөлінеді:

• Инфекция жұқтырған, x(t) саны, әрқайсысы жұқпалы (инкубациялық кезең қысқа) жеке тұлғалардан, инфекция тасымалдаушыларынан тұрады.
• Екінші түріне жатадысезімтал адамдар y(t) жұқтырған адамдармен байланыс арқылы жұқтыруға қабілетті.
• Үшінші түрге иммунитеті бар немесе ауру салдарынан өлген z(t) иммунды даралар жатады.

Тұлғалар саны тұрақты, туу, табиғи өлім және көші-қон есепке алынбайды. Негізгі екі гипотеза болады.

Белгілі бір уақыт нүктесіндегі сырқаттанушылық пайызы x(t)y(t) болып табылады (жағдайлар саны ауру және сезімтал өкілдер арасындағы қиылысулар санына пропорционалды деген теорияға негізделген, бұл бірінші кезеңде жуықтау x(t)y(t)-ге пропорционал болады), осыған байланысты жағдайлардың саны артады, ал сезімталдар саны ax(t)y(t) формуласымен есептелетін жылдамдықпен азаяды. a > 0).

Иммунды болған немесе өлген иммунды тұлғалардың саны жағдайлардың санына пропорционалды қарқынмен артып келеді, bx(t) (b > 0).

Нәтижесінде барлық үш көрсеткішті ескере отырып теңдеулер жүйесін құруға және соның негізінде қорытынды жасауға болады.

Экономика мысалы

Экономикалық талдауда дифференциалдық есептеу жиі қолданылады. Экономикалық талдаудың негізгі міндеті экономикадан функция түрінде жазылатын шамаларды зерттеу болып табылады. Бұл салықтар көтерілгеннен кейін бірден табыстың өзгеруі, баж салығы енгізілгеннен кейін, өнімнің өзіндік құны өзгерген кезде компания кірісінің өзгеруі, зейнеткерлікке шыққан жұмысшыларды жаңа құрал-жабдықтармен қандай пропорцияда ауыстыруға болатындығы сияқты мәселелерді шешу кезінде қолданылады. Мұндай мәселелерді шешу үшін қажеткіріс айнымалыларынан қосылым функциясын құрастырыңыз, содан кейін олар дифференциалды есептеу арқылы зерттеледі.

Экономикалық салада көбінесе ең оңтайлы көрсеткіштерді табу қажет: ең жоғары еңбек өнімділігі, ең жоғары табыс, ең аз шығындар және т.б. Әрбір мұндай көрсеткіш бір немесе бірнеше аргументтердің функциясы болып табылады. Мысалы, өндірісті еңбек және капитал салымдарының функциясы ретінде қарастыруға болады. Осыған байланысты қолайлы мәнді табуды бір немесе бірнеше айнымалылардан функцияның максимум немесе минимумын табуға дейін азайтуға болады.

Осындай есептер экономикалық салада экстремалды есептер класын жасайды, оларды шешу дифференциалды есептеуді қажет етеді. Экономикалық көрсеткішті басқа көрсеткіштің функциясы ретінде минимизациялау немесе максимизациялау қажет болғанда, максимум нүктесінде функция өсімінің аргументтерге қатынасы, егер аргумент өсімі нөлге ұмтылса, нөлге ұмтылады. Әйтпесе, мұндай қатынас қандай да бір оң немесе теріс мәнге ұмтылған кезде, көрсетілген нүкте қолайлы емес, себебі аргументті көбейту немесе азайту арқылы тәуелді мәнді қажетті бағытта өзгертуге болады. Дифференциалдық есептеулер терминологиясында бұл функцияның максимумы үшін қажетті шарт оның туындысының нөлдік мәні екенін білдіреді.

Экономикада бірнеше айнымалысы бар функцияның экстремумын табу мәселелері жиі кездеседі, себебі экономикалық көрсеткіштер көптеген факторлардан тұрады. Осындай сұрақтар жақсы.дифференциалды есептеу әдістерін қолдана отырып, бірнеше айнымалы функциялар теориясында оқытылады. Мұндай есептер тек максималды және кішірейтілген функцияларды ғана емес, сонымен қатар шектеулерді де қамтиды. Мұндай сұрақтар математикалық бағдарламалауға қатысты және олар ғылымның осы саласына негізделген арнайы әзірленген әдістердің көмегімен шешіледі.

Экономикада қолданылатын дифференциалдық есептеу әдістерінің ішінде маңызды бөлім – шекті талдау. Экономикалық салада бұл термин олардың шекті көрсеткіштерін талдау негізінде жасау, тұтыну көлемін өзгерту кезінде өзгермелі көрсеткіштер мен нәтижелерді зерттеу әдістерінің жиынтығын білдіреді. Шектеу көрсеткіші бірнеше айнымалысы бар туынды немесе ішінара туындылар болып табылады.

Бірнеше айнымалының дифференциалдық есебі математикалық талдау саласындағы маңызды тақырып болып табылады. Егжей-тегжейлі зерттеу үшін сіз жоғары оқу орындарына арналған әртүрлі оқулықтарды пайдалана аласыз. Ең атақтыларының бірі Фихтенгольцпен құрылған – «Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы». Аты айтып тұрғандай, интегралдармен жұмыс істеу дағдылары дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін өте маңызды. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есебі орын алғанда, шешім оңайырақ болады. Айта кету керек, ол бірдей негізгі ережелерге бағынады. Функцияны тәжірибеде дифференциалды есептеу арқылы зерттеу үшін орта мектепте берілген және жаңалары енгізілгенде сәл ғана күрделенетін бұрыннан бар алгоритмді ұстану жеткілікті.айнымалылар.