Материалды оқығаннан кейін оқырман планиметрияның мүлде қиын емес екенін түсінеді. Мақалада нақты есептерді шешуге қажетті ең маңызды теориялық ақпарат пен формулалар берілген. Маңызды мәлімдемелер мен цифрлардың қасиеттері сөрелерге қойылған.
Анықтама және маңызды фактілер
Планиметрия – екі өлшемді тегіс беттегі нысандарды қарастыратын геометрия саласы. Кейбір қолайлы мысалдарды анықтауға болады: шаршы, шеңбер, ромб.
Басқа нәрселермен қатар нүкте мен сызықты бөлектеген жөн. Олар планиметрияның екі негізгі ұғымы.
Қалғанының бәрі олардың негізінде жасалған, мысалы:
- Кесінді – екі нүктемен шектелген түзудің бөлігі.
- Сәуле сегментке ұқсас нысан, дегенмен оның бір жағында шекарасы ғана бар.
- Бір нүктеден шығатын екі сәуледен тұратын бұрыш.
Аксиомалар мен теоремалар
Аксиомаларды толығырақ қарастырайық. Планиметрияда бұл барлық ғылым жұмыс істейтін ең маңызды ережелер. Иә, тек онда ғана емес. Авторыанықтамасы бойынша бұл дәлелдеуді қажет етпейтін мәлімдемелер.
Төменде талқыланатын аксиомалар евклид геометриясының бөлігі болып табылады.
- Екі нүкте бар. Олар арқылы әрқашан бір сызық сызуға болады.
- Егер сызық бар болса, онда оның үстінде жатқан нүктелер де, онда жатпайтын нүктелер де болады.
Бұл 2 мәлімдеме мүшелік аксиомалары деп аталады, ал келесілері ретті:
- Егер түзуде үш нүкте болса, олардың біреуі қалған екеуінің арасында болуы керек.
- Жазықтық кез келген түзу арқылы екі бөлікке бөлінген. Сегменттің ұштары бір жартысында жатса, онда бүкіл нысан оған жатады. Әйтпесе, бастапқы сызық пен сегменттің қиылысу нүктесі болады.
Өлшем аксиомалары:
- Әр сегменттің нөлдік емес ұзындығы бар. Егер нүкте оны бірнеше бөлікке бөлсе, онда олардың қосындысы нысанның толық ұзындығына тең болады.
- Әр бұрыштың нөлге тең емес белгілі бір градус өлшемі бар. Егер сіз оны сәулемен бөлсеңіз, онда бастапқы бұрыш қалыптасқандардың қосындысына тең болады.
Параллель:
Ұшақта түзу сызық бар. Оған жатпайтын кез келген нүкте арқылы берілген нүктеге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады
Планиметриядағы теоремалар енді мүлдем негізгі тұжырымдар емес. Олар әдетте факт ретінде қабылданады, бірақ олардың әрқайсысында жоғарыда айтылған негізгі ұғымдарға негізделген дәлелдер бар. Оның үстіне, олардың саны өте көп. Барлығын бөлшектеу өте қиын болады, бірақ ұсынылған материалда кейбіреулері боладыолардың.
Келесі екеуі ертерек тексерілгенге тұрарлық:
- Көршілес бұрыштардың қосындысы 180 градус.
- Тік бұрыштардың мәні бірдей.
Бұл екі теорема n-бұрыштарға қатысты геометриялық есептерді шешуде пайдалы болуы мүмкін. Олар өте қарапайым және интуитивті. Оларды есте сақтау керек.
Үшбұрыштар
Үшбұрыш – бірінен-бірі қосылған үш сегменттен тұратын геометриялық фигура. Олар бірнеше критерий бойынша жіктеледі.
Бүйірлерде (қатынастар атаулардан шығады):
- Теңбүйірлі.
- Тең бүйірлер - екі қабырғасы және қарама-қарсы бұрыштары сәйкесінше тең.
- Әмбебап.
Бұрыштарда:
- өткір бұрышты;
- тікбұрышты;
- доғал.
Екі бұрыш әрқашан жағдайға қарамастан өткір болады, ал үшіншісі сөздің бірінші бөлігімен анықталады. Яғни, тікбұрышты үшбұрышта 90 градусқа тең бұрыштардың біріне ие.
Сипаттар:
- Бұрыш неғұрлым үлкен болса, соғұрлым қарама-қарсы жағы үлкен болады.
- Барлық бұрыштардың қосындысы 180 градус.
- Ауданды мына формула арқылы есептеуге болады: S=½ ⋅ h ⋅ a, мұндағы a - жағы, h - оған тартылған биіктік.
- Сіз әрқашан үшбұрышқа шеңберді сызуға немесе оны айналдыра сипаттауға болады.
Планиметрияның негізгі формулаларының бірі - Пифагор теоремасы. Ол тек тікбұрышты үшбұрыш үшін жұмыс істейді және келесідей естіледі: шаршыгипотенуза катеттердің квадраттарының қосындысына тең: AB2 =AC2 + BC2.
Гипотенуза - 90° бұрышқа қарама-қарсы жағы, ал аяқтар - көрші жақ.
Quadagons
Бұл тақырып бойынша ақпарат өте көп. Төменде ең маңыздылары ғана берілген.
Кейбір сорттар:
- Параллелограмм - қарама-қарсы жақтары жұпта тең және параллель.
- Ромб – қабырғаларының ұзындығы бірдей параллелограмм.
- Тіктөртбұрыш - төрт тік бұрышты параллелограмм
- Шаршы ромб және тіктөртбұрыш болып табылады.
- Трапеция - тек екі қарама-қарсы жағы параллель.
Сипаттар:
- Ішкі бұрыштардың қосындысы 360 градус.
- Ауданды әрқашан мына формула арқылы есептеуге болады: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), мұндағы p - периметрдің жартысы, a, b, c, d қабырғалары сан.
- Егер шеңберді төртбұрыштың айналасында сипаттауға болатын болса, мен оны дөңес деп атаймын, егер болмаса - дөңес емес.
