Бізді қоршап тұрған барлық денелер үздіксіз қозғалыста. Кеңістіктегі денелердің қозғалысы зат атомдарындағы элементар бөлшектердің қозғалысынан басталып, Ғаламдағы галактикалардың үдемелі қозғалысына дейін барлық масштаб деңгейінде байқалады. Кез келген жағдайда қозғалыс процесі үдеумен жүреді. Бұл мақалада біз тангенциалды үдеу түсінігін егжей-тегжейлі қарастырамыз және оны есептеуге болатын формуланы береміз.
Кинематикалық шамалар
Тангенциалды үдеу туралы айтпас бұрын, денелердің кеңістіктегі ерікті механикалық қозғалысын сипаттау әдеттегідей қандай шамаларды қарастырайық.
Біріншіден, бұл L жолы. Ол қашықтықты метрмен, сантиметрмен, километрмен және т.б. көрсетеді, дененің белгілі бір уақыт аралығында жүріп өткені.
Кинематикадағы екінші маңызды сипаттама – дененің жылдамдығы. Жолдан айырмашылығы ол векторлық шама болып табылады және траектория бойынша бағытталғандене қозғалыстары. Жылдамдық кеңістіктік координаттардың уақыт бойынша өзгеру жылдамдығын анықтайды. Оны есептеу формуласы:
v¯=dL/dt
Жылдамдық – жолдың уақыт туындысы.
Соңында, денелер қозғалысының үшінші маңызды сипаттамасы – үдеу. Физикадағы анықтамаға сәйкес, үдеу – жылдамдықтың уақытқа байланысты өзгеруін анықтайтын шама. Оның формуласын былай жазуға болады:
a¯=dv¯/dt
Жылдамдық сияқты үдеу де векторлық шама, бірақ одан айырмашылығы ол жылдамдықтың өзгеру бағытына бағытталған. Үдеу бағыты да денеге әсер ететін нәтиже күшінің векторымен сәйкес келеді.
Траектория және үдеу
Физикадағы көптеген есептер түзу сызықты қозғалыс шеңберінде қарастырылады. Бұл жағдайда, әдетте, олар нүктенің тангенциалды үдеуі туралы айтпайды, бірақ сызықтық үдеумен жұмыс істейді. Алайда, егер дененің қозғалысы сызықты болмаса, онда оның толық үдеуін екі құрамдас бөлікке бөлуге болады:
- тангенс;
- қалыпты.
Сызықтық қозғалыс жағдайында қалыпты компонент нөлге тең, сондықтан біз үдеу векторының кеңеюі туралы айтпаймыз.
Осылайша, қозғалыс траекториясы негізінен толық үдеу сипаты мен құрамдастарын анықтайды. Қозғалыс траекториясы дененің бойымен қозғалатын кеңістіктегі ойдан шығарылған сызық ретінде түсініледі. Кез келгенқисық сызықты траектория жоғарыда атап өткен нөлдік емес жеделдету компоненттерінің пайда болуына әкеледі.
Тангенциалды үдеуді анықтау
Тангенциалды немесе оны тағы да атайды, тангенциалды үдеу қозғалыс траекториясына тангенциалды бағытталған толық жеделдеудің құрамдас бөлігі болып табылады. Жылдамдық траектория бойынша да бағытталғандықтан, тангенциалды үдеу векторы жылдамдық векторымен сәйкес келеді.
Жылдамдық өзгерісінің өлшемі ретіндегі үдеу түсінігі жоғарыда берілген. Жылдамдық вектор болғандықтан, оны модуль бойынша немесе бағытта өзгертуге болады. Тангенциалды үдеу тек жылдамдық модулінің өзгерісін анықтайды.
Түз сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторы өз бағытын өзгертпейтінін ескеріңіз, сондықтан жоғарыда келтірілген анықтамаға сәйкес тангенциалды үдеу мен сызықтық үдеу бірдей мәнге ие болады.
Тангенциалды үдеу теңдеуін алу
Дене қандай да бір қисық траектория бойынша қозғалады деп есептейік. Содан кейін оның таңдалған нүктедегі v¯ жылдамдығын келесідей көрсетуге болады:
v¯=vut¯
Мұндағы v - v¯ векторының модулі, ut¯ - траекторияға тангенциалды бағытталған бірлік жылдамдық векторы.
Үдеттеудің математикалық анықтамасын пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Туындыны табу кезінде мұнда екі функцияның туындысының қасиеті қолданылды. Қарастырылып отырған нүктедегі толық үдеу a¯ екі мүшенің қосындысына сәйкес келетінін көреміз. Олар сәйкесінше нүктенің тангенсі және қалыпты үдеуі.
Қалыпты үдеу туралы бірнеше сөз айтайық. Ол жылдамдық векторын өзгертуге, яғни қисық бойымен дененің қозғалыс бағытын өзгертуге жауапты. Егер екінші мүшенің мәнін нақты есептесек, қалыпты үдеу формуласын аламыз:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Қалыпты үдеу қисықтың берілген нүктесіне қалпына келтірілген қалыпты бойымен бағытталған. Айналмалы қозғалыс жағдайында қалыпты үдеу центрге таралды.
Тангенциалды үдеу теңдеуі at¯:
at¯=dv/dtut¯
Бұл өрнек тангенциалды үдеу бағыттың өзгеруіне емес, уақыт моменті ішінде v¯ жылдамдық модулінің өзгеруіне сәйкес келетінін айтады. Тангенциалды үдеу траекторияның қарастырылатын нүктесіне тангенциалды бағытталғандықтан, ол әрқашан қалыпты құраушыға перпендикуляр болады.
Тангенциалды үдеу және жалпы үдеу модулі
Жоғарыда берілген барлық ақпарат тангенс пен норма арқылы жалпы үдеуді есептеуге мүмкіндік береді. Шынында да, екі компонент өзара перпендикуляр болғандықтан, олардың векторлары тікбұрышты үшбұрыштың катеттерін құрайды,оның гипотенузасы толық үдеу векторы болып табылады. Бұл факт жалпы жеделдету модулінің формуласын келесі пішінде жазуға мүмкіндік береді:
a=√(a2 + at2)
Толық үдеу мен тангенциалды үдеу арасындағы θ бұрышын келесідей анықтауға болады:
θ=arccos(at/a)
Тангенциалды үдеу неғұрлым үлкен болса, тангенциалды және толық үдеу бағыттары соғұрлым жақын болады.
Тангенциалды және бұрыштық үдеу арасындағы байланыс
Технологияда және табиғатта денелер қозғалатын типтік қисық сызықты траектория - шеңбер. Шынында да, тісті дөңгелектердің, қалақтардың және планеталардың өз осінің айналасында немесе олардың шамдарының айналасында қозғалысы дәл шеңберде жүреді. Осы траекторияға сәйкес қозғалыс айналу деп аталады.
Айналу кинематикасы түзу сызық бойымен қозғалыс кинематикасымен бірдей мәндермен сипатталады, дегенмен олардың бұрыштық сипаты бар. Сонымен, айналуды сипаттау үшін орталық айналу бұрышы θ, бұрыштық жылдамдық ω және үдеу α қолданылады. Бұл шамалар үшін келесі формулалар жарамды:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Дене t уақыт ішінде айналу осінен бір айналым жасады деп есептейік, онда бұрыштық жылдамдық үшін мынаны жазуға болады:
ω=2pi/t
Бұл жағдайда сызықтық жылдамдық мынаған тең болады:
v=2pir/t
Мұндағы r – траекторияның радиусы. Соңғы екі өрнек жазуға мүмкіндік бередіекі жылдамдықты қосу формуласы:
v=ωr
Енді теңдеудің сол және оң жақтарының уақыт туындысын есептейміз, мынаны аламыз:
dv/dt=rdω/dt
Теңдіктің оң жағы бұрыштық үдеу мен шеңбер радиусының көбейтіндісі. Теңдеудің сол жағы жылдамдық модулінің өзгеруі, яғни тангенциалды үдеу.
Осылайша, тангенциалды үдеу және ұқсас бұрыштық мән теңдікпен байланысты:
at=αr
Егер диск айналады деп есептесек, онда α тұрақты мәніндегі нүктенің тангенциалды үдеуі осы нүктеден айналу осіне r дейінгі қашықтықтың артуымен сызықты түрде артады.
Одан кейін жоғарыдағы формулаларды пайдаланып екі есепті шығарамыз.
Белгілі жылдамдық функциясынан тангенциалды үдеуді анықтау
Белгілі бір қисық траектория бойынша қозғалатын дененің жылдамдығы уақыттың келесі функциясымен сипатталатыны белгілі:
v=2t2+ 3t + 5
Тангенциалды үдеу формуласын анықтау және оның t=5 секунд уақытындағы мәнін табу керек.
Алдымен тангенциалды үдеу модулінің формуласын жазайық:
at=dv/dt
Яғни, at(t) функциясын есептеу үшін жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысын анықтау керек. Бізде:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Нәтижедегі өрнекке t=5 секунд уақытын ауыстырсақ, мына жауапқа келеміз: at=23 м/с2.
Бұл есептегі жылдамдықтың уақытқа қарсы графигі парабола, ал тангенциалды үдеу графигі түзу екенін ескеріңіз.
Тангенциалды жеделдету тапсырмасы
Материалдық нүкте уақыттың нөлдік сәтінен бастап біркелкі жеделдетілген айналуды бастағаны белгілі. Айналу басталғаннан кейін 10 секундтан кейін оның центрге тартқыш үдеуі 20 м/с2 тең болды. 10 секундтан кейін нүктенің тангенциалды үдеуін анықтау керек, егер айналу радиусы 1 метр екені белгілі болса.
Алдымен центрге тартқыш немесе қалыпты үдеу формуласын жазыңыз ac:
ac=v2/r
Сызықтық және бұрыштық жылдамдық арасындағы қатынас формуласын қолданып, мынаны аламыз:
ac=ω2r
Бірқалыпты үдетілген қозғалыста жылдамдық пен бұрыштық үдеу мына формула бойынша байланысады:
ω=αt
Аc теңдеуіне ω мәнін қойсақ, мынаны аламыз:
ac=α2t2r
Тангенциалды үдеу арқылы сызықтық үдеу келесідей өрнектеледі:
α=at/r
Соңғы теңсіздікті соңғы теңдікке ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Есептің шартының деректерін ескере отырып, соңғы формула мынандай жауап береді: at=0, 447м/с2.
